Логарифм под знаком корня

Десятичный логарифм — Википедия

логарифм под знаком корня

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его . Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения. Как преобразовать логарифм степени и логарифм корня? Если под знаком логарифма стоит положительное выражение, показатель степени можно. Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма.

И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифмаи больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно, потому что она будет выполняться автоматически.

С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 52. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма.

логарифм под знаком корня

Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач. Но давайте будем честными: Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ. Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок.

Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями. Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня. Учет области определения Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений.

логарифм под знаком корня

Решается оно очень. Достаточно лишь использовать формулу: У многих учеников наверняка возникнет вопрос: Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник? Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. Взгляните на нашу итоговую формулу: Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число.

Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить.

Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9.

логарифм под знаком корня

Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. Переходим ко второй задаче: Здесь все то же. Переписываем конструкцию, заменяя тройку: Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение: Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем: Вот и все решение.

Давайте вернемся в самое начало наших вычислений. Основной вывод из этого урока: Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически. Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень. Логарифмические уравнения с разными основаниями Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции.

Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием. В этом случае мы получим конструкцию вида: Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении.

Десятичный логарифм

Давайте заменим эту конструкцию на logab, получим: Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь. Далее осталось привести логарифмы к общему основанию.

В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение: Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу: Другими словами, коэффициент k, который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь.

логарифм под знаком корня

Давайте вынесем ее как перевернутую дробь: Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит.

Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковыеи записываем: Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Теперь переходим ко второму выражению: Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно. Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log2 7.

Что мы можем о нем сказать?

Логарифм с корнем в основании | Логарифмы

Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма: Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом: В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента.

Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого. На самом деле ничего криминального в этом. Требуется рассмотреть четыре случая: Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно. Пусть показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен.

Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны: Решение, а так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы; бтак как и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа; втак как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы; г д ; почему?

логарифм под знаком корня

Следующие свойства 4—6 часто называют правилами логарифмирования: Свойство 4 правило логарифмирования произведения. Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Пусть даны положительные числа. Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство Отсюда найдем Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство: Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 правило логарифмирования частного.

  • Логарифм корня
  • Логарифмическое уравнение: основные формулы и приемы
  • Корни и степени